Verantwortliche(r): Saskia Roos
In der Vorlesung Semi-Riemannsche Geometrie studieren wir gekrümmte Räume beliebiger Dimension. Wir definieren die Messung von Längen und Winkeln mit Hilfe von semi-riemannschen Metriken. Wir führen einen Ableitungsbegriff für Vektorfelder ein und studieren lokal kürzeste Verbindungen zwischen zwei Punkten, sogenannte Geodätische. Anschließend behandeln wir verschiedene Krümmungsbegriffe. Es ergeben sich viele weitergehende Fragen: Inwiefern wird die Topologie einer riemannschen Mannigfaltigkeit durch ihre Krümmung bestimmt? Welche Auswirkungen hat die Krümmung auf analytische Fragen, etwa die Lösung der Laplace-Gleichung oder der Wärmeleitungsgleichung? Was sind grundlegende Eigenschaften von gekrümmten Raumzeiten in der allgemeinen Relativitätstheorie? Wir werden je nach Wunsch der Teilnehmerinnen und Teilnehmer einige dieser Fragen diskutieren.
In der ersten Semesterwoche findet eine Präsenzübung statt, in der die benötigten topologischen Begriffe besprochen werden. Wir empfehlen allen Teilnehmerinnen und Teilnehmern, sich darauf mit Hilfe des hier verlinkten kurzen Skripts vorzubereiten.
In the lecture course Semi-Riemannian Geometry we study curved spaces of arbitrary dimensions. We use semi-Riemannian metrics to define lenghts and angles. We introduce a covariant derivative for vector fields and we study the locally shortest curves between two points, the so-called geodesics. Then we discuss several notions of curvature. This leads to several more advanced topics: In which way is the topology of the manifold determined by its curvature? What is the effect of curvature concerning analytical questions such as the solution of the Laplace equation or the heat equation? What are basic properties of curved space-times in general relativity? We will study some of these questions depending on the preferences of the audience.
In the tutorial class in the first week of the semester we will discuss the notions from topology required for the course. We recommend that all participants study these notes before the first tutorial class.
Wann und Wo:
Dienstag 12:15-13:45 in 2.09.0.14
Mittwoch 10:15-11:45 in 2.09.0.12
Übungsgruppe:
Freitag 10:15-11:45 in 2.09.0.14 (Claudia Grabs)
Übungsbetrieb:
Moodle-Link
Semester (empfohlen):
ab 6.
Modulnummer(n):
261, 721, 751, 752, 771, 772, 781, 81j, A710, A750, MATVMD611, MATVMD612, MATVMD711, MATVMD811, MATVMD812, MATVMD813, MATVMD814, MATVMD815
Erforderliche Vorkenntnisse:
Analysis 1+2
Literatur:
1. C. Bär: Differential geometry, lecture notes, Potsdam 2013
2. C. Bär: Differentialgeometrie, Vorlesungsskript, Potsdam 2006
3. B. O'Neill: Semi-Riemannian Geometry, Academic Press, New York 2002
