Unsere Arbeitsgruppe befasst sich mit Geometrie, genauer Differentialgeometrie, und ihren Nachbar- und Anwendungsgebieten wie globale Analysis, Topologie und mathematische Physik. Exemplarisch seien drei Projekte hier genauer erläutert.
1. Wellengleichungen auf gekrümmten Raumzeiten
In der allgemeinen Relativitätstheorie werden Raum und Zeit durch so genannte gekrümmte Lorentz-Mannigfaltigkeiten modelliert. Zahlreiche physikalische Phänomene, wie z.B. elektromagnetische Strahlung oder die kürzlich experimentell nachgewiesenen Gravitationswellen, werden durch Felder beschrieben, die einer Wellengleichung genügen. Wir untersuchen die grundlegende globale analytische Theorie für solche Wellengleichungen. Sie betrifft u.a. die Existenz, die Eindeutigkeit und die Stabilität von Lösungen. Ferner werden Quantenfeldtheorien auf gekrümmten Raumzeiten konstruiert, um die theoretischen Physiker bei der Suche nach einer Vereinheitlichung von allgemeiner Relativitätstheorie und Quantenphysik zu unterstützen. Eine ganz neue Entwicklung stellt die Indextheorie für Dirac-Operatoren auf Lorentz-Mannigfaltigkeiten dar, bei der geeignete Randwert-Probleme für Dirac-Felder untersucht werden.
2. Analytische und spektrale Eigenschaften geometrischer Operatoren
Viele Probleme der Physik hängen mit analytischen oder spektralen Eigenschaften von Differentialoperatoren zusammen. Beispielsweise sind die möglichen Energien eines physikalischen Systems oft durch die Eigenwerte eines Differentialoperators gegeben. Man möchte nun wissen, welche geometrischen Größen eines Systems durch diese Eigenwerte bestimmt sind. Wir untersuchen einige der offenen Fragen, die sich hier ergeben. Ein spezielles Beispiel ist der konforme Laplace-Operator. Wir untersuchen die Frage, inwiefern man aus den Eigenschaften dieses Operators auf die Positivität der sogenannten ADM-Masse einer asymptotisch flachen Mannigfaltigkeit schließen kann. Ein weiteres wichtiges Beispiel ist die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung. Wir untersuchen die Anwendungen in der Theorie der Pfadintegrale, die sich aus ihren Eigenschaften ergeben.
3. Supergeometrie
Die Supergeometrie verallgemeinert die Differentialgeometrie indem sie Räume einschließt, auf denen antikommutierende Funktionen existieren. Sie basiert daher einerseits auf Ideen aus der algebraischen Geometrie, erlaubt aber andererseits die Entwicklung von Konzepten wie Lie-Theorie, Tensorkalkül oder Variationsrechung analog zur klassischen Differentialgeometrie. Das Studium solcher Strukturen ist ursprünglich physikalisch motiviert, da in diesem Rahmen sowohl (pseudo)klassische Fermi-Felder als auch supersymmetrische Theorien geometrisch modelliert werden können.
Wir beschäftigen uns mit der geometrischen Theorie von partiellen Differentialgleichungen auf Supermannigfaltigkeiten. Neben der Lösungstheorie selbst untersuchen wir auch ihre Anwendungen in Feldtheorie und Geometrie, etwa die Konstruktion supersymmetrischer/fermionischer Quantenfeldtheorien auf gekrümmten Raumzeiten oder die Diskussion geometrischer Bedingungen für die Existenz von Lösungen. Ein weiterer Gegenstand unserer Forschung ist der von Witten initiierte supersymmetrische Zugang zur Indextheorie.
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