Das Forschungsseminar "Topics in Geometric Analysis" wird gemeinsam mit Ahmad Afuni (FU Berlin) organisiert.

Projekte

DFG ME3816/3-1: Geometrisch definierte asymptotische Koordinaten in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Dies ist ein  Teilprojekt des SPP 2026: Geometry at infinity

Gemeinsam mit Prof. Dr. Carla Cederbaum (Uni Tübingen)

In diesem Projekt untersuchen wir geometrisch definierte Blätterungen von Anfangsdaten in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Diese erlauben es, asymptotische Koordinatensysteme zu konstruieren, die gut geeignet dafür sind, physikalische Invarianten wie die Masse und das Massezentrum zu untersuchen. Gegenstand sind hier Blätterungen aus Flächen konstanter mittlerer Krümmung, konstanter Expansion, oder konstanter mittlerer Krümmung in der Raumzeit.

Hauptziele des Projekts sind:

  1. Vergleich der verschiedenen Blätterungen und der zugehörigen Koordinatensysteme. Von besonderem Interesse ist der Einfluss physikalischer Invarianten auf Gestalt und Position der Flächen.
  2. Dabei liegt besonderes Augenmerk auf der Suche nach Koordinatensystemen, die nicht von der Wahl von Anfangsdaten, sondern nur von der erzeugten Raumzeit abhängen. So wäre etwa eine Formulierung der Regge-Teitelboim-Bedingungen von Interesse, die nicht von der Wahl eines Koordinatensystems abhängt.
  3. Dabei sollen die Anforderungen an die asymptotische Geometrie von Anfansdaten wie Raumzeiten so allgemein wie möglich gehalten werden.

Ausgelaufene Projekte

DFG ME3816/1-2: Willmore surfaces in Riemannian manifolds

Gemeinsam mit Prof. Dr. Tobias Lamm (KIT, Karsruhe)

Dauer: September 2014 - Oktober 2019

Geometrische Variationsprobleme treten in natürlicher Weise in mehreren Teilgebieten der Mathematik, Physik, Biologie und Informatik auf. Die bekanntesten Beispiele sind das isoperimetrische Problem und die Minimalflächen. In diesem Projekt betrachten wir Variationsprobleme höherer Ordnung, wie zum Beispiel das Willmore-Funktional und Varianten davon. Diese spezielle Funktional tritt unter anderem in der Allgemeinen Relativitätstheorie, der Biologie und der Bildwiederherstellung auf.

In den letzten Jahren wurde das Willmore-Funktional und seine Varianten im euklidischen Raum intensiv untersucht. Unser Ziel ist die Entwicklung und Ausweitung der existierenden Theorie auf beliebige Zielmannigfaltigkeiten da dies in den oben erwähnten Anwendungen von Bedeutung ist.

Genauer wollen wir die Effekte der umgebenden Krümmung auf die geometrischen bzw. analytischen Eigenschaften der Funktionale untersuchen.

Unsere Hauptmotivation kommt von den Anwendungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie und wir versuchen die Verbindungen zwischen dem Willmore-Funktional und den relevanten physikalischen Grössen in dieser Theorie besser zu verstehen.

Um unsere Ziele zu erreichen, müssen wir die existierenden Regularitäts-, Kompaktheits- und Existenzresultate auf die zu betrachtenden Funktionale ausweiten und dies verlangt das genaue Studium der zugrunde liegenden kritischen partiellen Differentialgleichungen.

DFG  ME3816/1-1: Geometry of Willmore surfaces in Riemannian manifolds and applications to General relativity

Dauer: Oktober 2011 - August 2013

Geometrische Variationsprobleme und die zugehörigen partiellen Differentialgleichungen sind natürliche Hilfsmittel, um die Geometrie Riemannscher Mannigfaltigkeiten zu untersuchen, und um physikalische Größen in der Allgemeinen Relativitätstheorie zu  definieren. In diesem Projekt betrachten wir verschiedene
Verallgemeinerungen des Willmorefunktionals in Riemannschen Mannigfaltigkeiten, die durch die Hawkingmasse aus der Allgemeinen Relativitätstheorie motiviert sind. Wir untersuchen Flächen, die
diese Funktionale unter geeigneten Nebenbedingungen minimieren, oder die zugehörigen partiellen Differentialgleichungen erfüllen. Unser Hauptaugenmerk liegt auf dem Zusammenspiel der Geometrie dieser
Flächen und der Geometrie der umgebenden Mannigfaltigkeit. Diese Zusammenhänge besitzen oft physikalische Interpretationen, wenn man die umgebende Mannigfaltigkeit als Anfangsdaten für die Allgemeine Relativitätstheorie betrachtet. So können etwa Flächen, die den kleinsten Flächeninhalt unter allen Flächen haben, die dasselbe Volumen einschließen, dazu benutzt werden, das Massenzentrum eines isolierten gravitierenden Systems zu definieren.
 
Dieser Art sind die Effekte, die wir für das Willmorefunktional betrachten. Vorarbeiten des Antragstelles zeigen, dass ein enger Zusammenhang zwischen dem Willmorefunktional und der Skalarkrümmung des umgebenden Raumes besteht, wenn man kleine Flächen betrachtet. Im Großen können diese Flächen benutzt werden, um Masse und Massenzentrum eines isolierten gravitierenden Systems zu untersuchen. Außerdem betrachten wir Verallgemeinerungen des Willmorefunktionals, die vermutlich sensitiv gegenüber dem Gesamtimpuls eines solchen Systems sind.

Publikationen

Wichtigste Publikationen

  • M. Eichmair and J. Metzger
    Jenkins-Serrin-Spruck type results for the Jang's equation
    Preprint. May 2012.
    arXiv:1205.4301 [math.DG].
  • M. Eichmair and J. Metzger
    Unique isoperimetric foliations of asymptotically flat manifolds in all dimensions
    Inventiones mathematicae 194 (2013), 591--630.
    arXiv:1204.6065 [math.DG].
  • M. Eichmair and J. Metzger
    Large isoperimetric surfaces in asymptotically flat manifolds
    J. Differential Geom. 94 (2013), 159--186.
    arXiv:1102.2999 [math.DG].
  • M. Eichmair and J. Metzger
    On large volume preserving stable constant mean curvature surfaces in initial data sets
    J. Differential Geom. 91 (2012) 81-102.
    arXiv:1102.3001 [math.DG].
  • T. Lamm, J. Metzger and F. Schulze
    Foliations of asymptotically flat manifolds by surfaces of Willmore type
    Mathematische Annalen 350 (2011) 1-78.
    arXiv:0903.1277 [math.DG].

 

2023 | On the Rigidity of Cosmological Space-times | Rodrigo Avalos
Zeitschrift: Letters in Mathematical Physics Verlag: Springer Seiten: 98 Band: 113 Link zur Publikation , Link zum Preprint

2023 | Local foliations by critical surfaces of the Hawking energy and small sphere limit | Alejandro Penuela Diaz
Zeitschrift: Classical and Quantum Gravity Seiten: 035002 Band: 40 Link zur Publikation , Link zum Preprint

2022 | Local space time constant mean curvature and constant expansion foliations | Jan Metzger, Alejandro Peñuela Diaz
Zeitschrift: Journal of Geometry and Physics Volume 188, June 2023, 104823 Link zur Publikation , Link zum Preprint

2022 | Concentration of Small Hawking Type Surfaces | Alexander Friedrich
Zeitschrift: Differential Geometry and its Applications Seiten: 101927 Band: 85 Link zur Publikation , Link zum Preprint

2022 | Huisken-Yau-type uniqueness for area-constrained Willmore spheres | Michael Eichmair, Thomas Koerber, Jan Metzger, Felix Schulze
Link zum Preprint

2022 | Rigidity Theorems for Asymptotically Euclidean $Q$-singular Spaces | R. Avalos, P. Laurain, N. Marque
Link zum Preprint

2021 | Constructing electrically charged Riemannian manifolds with minimal boundary, prescribed asymptotics, and controlled mass | Armando J. Cabrera Pacheco, Carla Cederbaum, Penelope Gehring, Alejandro Peñuela Diaz
Zeitschrift: Journal of Geometry and Physics Seiten: 104746 Link zur Publikation , Link zum Preprint

2021 | Energy in Fourth Order Gravity | Rodrigo Avalos, Jorge H. Lira, Nicolas Marque
Link zum Preprint

2020 | Energy Estimates for the Tracefree Curvature of Willmore Surfaces and Applications | Yann Bernard, Paul Laurain, Nicolas Marque
Link zum Preprint

2019 | Refined position estimates for surfaces of Willmore type in Riemannian manifolds | Jan Metzger
Zeitschrift: Comm. Anal. Geom.30(2022), no.10, 2315–2346. Link zur Publikation , Link zum Preprint

2019 | Minimizers of Generalized Willmore Functionals | Alexander Friedrich
Link zum Preprint

2018 | Local foliation of manifolds by surfaces of Willmore type | Tobias Lamm, Jan Metzger, Felix Schulze
Zeitschrift: Ann. Inst. Fourier Seiten: 1639–1662 Band: 70 Link zur Publikation , Link zum Preprint

2017 | Isoperimetric structure of asymptotically conical manifolds | Otis Chodosh, Michael Eichmair, and Alexander Volkmann
Zeitschrift: J. Differential Geom. Seiten: 1-19 Band: 105 Link zur Publikation

2016 | Jenkins-Serrin-type results for the Jang equation | Michael Eichmair and Jan Metzger
Zeitschrift: J. Differential Geom. Seiten: 207–242 Band: 102 Link zum Preprint

2015 | Null mean curvature flow and outermost MOTS | Theodora Bourni, Kristen Moore
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2015 | The merger of small and large black holes | P. Mösta; L. Andersson; J. Metzger; B. Szilágyi; J. Winicour
Zeitschrift: Classical Quantum Gravity Seiten: 235003, 20 pp. Band: 32

2014 | On the evolution of hypersurfaces by their inverse null mean curvature | Kristen Moore
Zeitschrift: J. Differential Geom. Seiten: 425-466 Band: 98 Link zur Publikation

2013 | Minimizers of the Willmore functional with a small area constraint | Tobias Lamm and Jan Metzger
Zeitschrift: Annales de l’Institut Henri Poincaré / Analyse non linéaire Seiten: 497-518 Band: 30 Link zur Publikation

2013 | Large isoperimetric surfaces in asymptotically flat manifolds | Michael Eichmair and Jan Metzger
Zeitschrift: J. Differential Geom. Seiten: 159-186 Band: 94 Link zur Publikation

2013 | Unique isoperimetric foliations of asymptotically flat manifolds in all dimensions | Michael Eichmair and Jan Metzger
Zeitschrift: Invent. Math. Seiten: 591-630 Band: 194 Link zur Publikation

2013 | Willmore flow of surfaces in Riemannian spaces I: Concentration-compactness | J. Metzger, G. Wheeler, and V.-M. Wheeler
Link zum Preprint

2012 | On large volume preserving stable constant mean curvature surfaces in initial data sets | Michael Eichmair and Jan Metzger
Zeitschrift: J. Differential Geom. Seiten: 81-102 Band: 91 Link zur Publikation

2011 | Foliations of asymptotically flat manifolds by surfaces of Willmore type | Tobias Lamm, Jan Metzger and Felix Schulze
Zeitschrift: Math. Ann. Seiten: 1-78 Band: 350 Link zur Publikation

2011 | On type-I singularities in Ricci flow | Jörg Enders, Reto Müller, Peter Topping
Zeitschrift: Comm. Anal. Geom. Seiten: 905-922 Band: 19 Link zur Publikation

2010 | Surfaces with maximal constant mean curvature | Jan Metzger
Zeitschrift: Comm. Anal. Geom. Seiten: 627-647 Band: 18 Link zur Publikation

2010 | Small surfaces of Willmore type in Riemannian manifolds | Tobias Lamm and Jan Metzger
Zeitschrift: Intl. Math. Res. Notices Seiten: 3786-3813 Band: 2010 Link zur Publikation

2010 | Blowup of Jang’s equation at outermost marginally trapped surfaces | Jan Metzger
Zeitschrift: Comm. Math. Phys. Seiten: 61-72 Band: 294 Link zur Publikation

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