Das Forschungsseminar "Topics in Geometric Analysis" wird gemeinsam mit Ahmad Afuni (FU Berlin) organisiert.
Dies ist ein Teilprojekt des SPP 2026: Geometry at infinity
Gemeinsam mit Prof. Dr. Carla Cederbaum (Uni Tübingen)
In diesem Projekt untersuchen wir geometrisch definierte Blätterungen von Anfangsdaten in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Diese erlauben es, asymptotische Koordinatensysteme zu konstruieren, die gut geeignet dafür sind, physikalische Invarianten wie die Masse und das Massezentrum zu untersuchen. Gegenstand sind hier Blätterungen aus Flächen konstanter mittlerer Krümmung, konstanter Expansion, oder konstanter mittlerer Krümmung in der Raumzeit.
Hauptziele des Projekts sind:
Gemeinsam mit Prof. Dr. Tobias Lamm (KIT, Karsruhe)
Dauer: September 2014 - Oktober 2019
Geometrische Variationsprobleme treten in natürlicher Weise in mehreren Teilgebieten der Mathematik, Physik, Biologie und Informatik auf. Die bekanntesten Beispiele sind das isoperimetrische Problem und die Minimalflächen. In diesem Projekt betrachten wir Variationsprobleme höherer Ordnung, wie zum Beispiel das Willmore-Funktional und Varianten davon. Diese spezielle Funktional tritt unter anderem in der Allgemeinen Relativitätstheorie, der Biologie und der Bildwiederherstellung auf.
In den letzten Jahren wurde das Willmore-Funktional und seine Varianten im euklidischen Raum intensiv untersucht. Unser Ziel ist die Entwicklung und Ausweitung der existierenden Theorie auf beliebige Zielmannigfaltigkeiten da dies in den oben erwähnten Anwendungen von Bedeutung ist.
Genauer wollen wir die Effekte der umgebenden Krümmung auf die geometrischen bzw. analytischen Eigenschaften der Funktionale untersuchen.
Unsere Hauptmotivation kommt von den Anwendungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie und wir versuchen die Verbindungen zwischen dem Willmore-Funktional und den relevanten physikalischen Grössen in dieser Theorie besser zu verstehen.
Um unsere Ziele zu erreichen, müssen wir die existierenden Regularitäts-, Kompaktheits- und Existenzresultate auf die zu betrachtenden Funktionale ausweiten und dies verlangt das genaue Studium der zugrunde liegenden kritischen partiellen Differentialgleichungen.
Dauer: Oktober 2011 - August 2013
Geometrische Variationsprobleme und die zugehörigen partiellen Differentialgleichungen sind natürliche Hilfsmittel, um die Geometrie Riemannscher Mannigfaltigkeiten zu untersuchen, und um physikalische Größen in der Allgemeinen Relativitätstheorie zu definieren. In diesem Projekt betrachten wir verschiedene
Verallgemeinerungen des Willmorefunktionals in Riemannschen Mannigfaltigkeiten, die durch die Hawkingmasse aus der Allgemeinen Relativitätstheorie motiviert sind. Wir untersuchen Flächen, die
diese Funktionale unter geeigneten Nebenbedingungen minimieren, oder die zugehörigen partiellen Differentialgleichungen erfüllen. Unser Hauptaugenmerk liegt auf dem Zusammenspiel der Geometrie dieser
Flächen und der Geometrie der umgebenden Mannigfaltigkeit. Diese Zusammenhänge besitzen oft physikalische Interpretationen, wenn man die umgebende Mannigfaltigkeit als Anfangsdaten für die Allgemeine Relativitätstheorie betrachtet. So können etwa Flächen, die den kleinsten Flächeninhalt unter allen Flächen haben, die dasselbe Volumen einschließen, dazu benutzt werden, das Massenzentrum eines isolierten gravitierenden Systems zu definieren.
Dieser Art sind die Effekte, die wir für das Willmorefunktional betrachten. Vorarbeiten des Antragstelles zeigen, dass ein enger Zusammenhang zwischen dem Willmorefunktional und der Skalarkrümmung des umgebenden Raumes besteht, wenn man kleine Flächen betrachtet. Im Großen können diese Flächen benutzt werden, um Masse und Massenzentrum eines isolierten gravitierenden Systems zu untersuchen. Außerdem betrachten wir Verallgemeinerungen des Willmorefunktionals, die vermutlich sensitiv gegenüber dem Gesamtimpuls eines solchen Systems sind.
In this paper we analyse a family of geometrically well-behaved cosmological space-times $(V^{n+1},g)$, which are foliated by \emph{intrinsically isotropic} space-like hypersurfaces $\{M_t\}_{t\in \mathbb{R}}$, which are orthogonal to a family of co-moving observers defined by a global time-like vector field $U$. In particular, this implies such space-times satisfy several of the well-known criteria for isotropic cosmological space-times, although, in the family in question, the simultaneity-spaces $(M_t,g_t)$ associated to $U$ can have as sectional curvature a sign-changing function $k(t)$. Being this clearly impossible in the FLRW family of standard cosmological space-times, it motivates us to revisit the geometric rigidity consequences of different definitions of isotropy available in the literature. In this analysis, we divide such definition according to whether the isometries involved are taken to be (local) space-time (STI space-times) or (local) space isometries (SI space-times) of $(M_t,g_t)$ for each $t$. This subtlety will be shown to be critical, proving that only when space-time isometries are considered one obtains the well-known rigidity properties associated with isotropic cosmological space-times. In particular SI space-times will be shown to be a strictly larger class than the STI ones, allowing a family of basic cosmological curvature change models which are not even locally isometric to any FLRW space-time.
