Das Forschungsseminar "Topics in Geometric Analysis" wird gemeinsam mit Ahmad Afuni (FU Berlin) organisiert.
Dies ist ein Teilprojekt des SPP 2026: Geometry at infinity
Gemeinsam mit Prof. Dr. Carla Cederbaum (Uni Tübingen)
In diesem Projekt untersuchen wir geometrisch definierte Blätterungen von Anfangsdaten in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Diese erlauben es, asymptotische Koordinatensysteme zu konstruieren, die gut geeignet dafür sind, physikalische Invarianten wie die Masse und das Massezentrum zu untersuchen. Gegenstand sind hier Blätterungen aus Flächen konstanter mittlerer Krümmung, konstanter Expansion, oder konstanter mittlerer Krümmung in der Raumzeit.
Hauptziele des Projekts sind:
Gemeinsam mit Prof. Dr. Tobias Lamm (KIT, Karsruhe)
Dauer: September 2014 - Oktober 2019
Geometrische Variationsprobleme treten in natürlicher Weise in mehreren Teilgebieten der Mathematik, Physik, Biologie und Informatik auf. Die bekanntesten Beispiele sind das isoperimetrische Problem und die Minimalflächen. In diesem Projekt betrachten wir Variationsprobleme höherer Ordnung, wie zum Beispiel das Willmore-Funktional und Varianten davon. Diese spezielle Funktional tritt unter anderem in der Allgemeinen Relativitätstheorie, der Biologie und der Bildwiederherstellung auf.
In den letzten Jahren wurde das Willmore-Funktional und seine Varianten im euklidischen Raum intensiv untersucht. Unser Ziel ist die Entwicklung und Ausweitung der existierenden Theorie auf beliebige Zielmannigfaltigkeiten da dies in den oben erwähnten Anwendungen von Bedeutung ist.
Genauer wollen wir die Effekte der umgebenden Krümmung auf die geometrischen bzw. analytischen Eigenschaften der Funktionale untersuchen.
Unsere Hauptmotivation kommt von den Anwendungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie und wir versuchen die Verbindungen zwischen dem Willmore-Funktional und den relevanten physikalischen Grössen in dieser Theorie besser zu verstehen.
Um unsere Ziele zu erreichen, müssen wir die existierenden Regularitäts-, Kompaktheits- und Existenzresultate auf die zu betrachtenden Funktionale ausweiten und dies verlangt das genaue Studium der zugrunde liegenden kritischen partiellen Differentialgleichungen.
Dauer: Oktober 2011 - August 2013
Geometrische Variationsprobleme und die zugehörigen partiellen Differentialgleichungen sind natürliche Hilfsmittel, um die Geometrie Riemannscher Mannigfaltigkeiten zu untersuchen, und um physikalische Größen in der Allgemeinen Relativitätstheorie zu definieren. In diesem Projekt betrachten wir verschiedene
Verallgemeinerungen des Willmorefunktionals in Riemannschen Mannigfaltigkeiten, die durch die Hawkingmasse aus der Allgemeinen Relativitätstheorie motiviert sind. Wir untersuchen Flächen, die
diese Funktionale unter geeigneten Nebenbedingungen minimieren, oder die zugehörigen partiellen Differentialgleichungen erfüllen. Unser Hauptaugenmerk liegt auf dem Zusammenspiel der Geometrie dieser
Flächen und der Geometrie der umgebenden Mannigfaltigkeit. Diese Zusammenhänge besitzen oft physikalische Interpretationen, wenn man die umgebende Mannigfaltigkeit als Anfangsdaten für die Allgemeine Relativitätstheorie betrachtet. So können etwa Flächen, die den kleinsten Flächeninhalt unter allen Flächen haben, die dasselbe Volumen einschließen, dazu benutzt werden, das Massenzentrum eines isolierten gravitierenden Systems zu definieren.
Dieser Art sind die Effekte, die wir für das Willmorefunktional betrachten. Vorarbeiten des Antragstelles zeigen, dass ein enger Zusammenhang zwischen dem Willmorefunktional und der Skalarkrümmung des umgebenden Raumes besteht, wenn man kleine Flächen betrachtet. Im Großen können diese Flächen benutzt werden, um Masse und Massenzentrum eines isolierten gravitierenden Systems zu untersuchen. Außerdem betrachten wir Verallgemeinerungen des Willmorefunktionals, die vermutlich sensitiv gegenüber dem Gesamtimpuls eines solchen Systems sind.
In 2015, Mantoulidis and Schoen constructed 3-dimensional asymptotically Euclidean manifolds with non-negative scalar curvature whose ADM mass can be made arbitrarily close to the optimal value of the Riemannian Penrose Inequality, while the intrinsic geometry of the outermost minimal surface can be "far away" from being round. The resulting manifolds, called \emph{extensions}, are geometrically not "close" to a spatial Schwarzschild manifold. This suggests instability of the Riemannian Penrose Inequality. Their construction was later adapted to n+1 dimensions by Cabrera Pacheco and Miao, suggesting instability of the higher dimensional Riemannian Penrose Inequality. In recent papers by Alaee, Cabrera Pacheco, and Cederbaum and by Cabrera Pacheco, Cederbaum, and McCormick, a similar construction was performed for asymptotically Euclidean, electrically charged Riemannian manifolds and for asymptotically hyperbolic Riemannian manifolds, respectively, obtaining 3-dimensional extensions that suggest instability of the Riemannian Penrose Inequality with electric charge and of the conjectured asymptotically hyperbolic Riemannian Penrose Inequality in 3 dimensions. This paper combines and generalizes all the aforementioned results by constructing suitable asymptotically hyperbolic or asymptotically Euclidean extensions with electric charge in n+1 dimensions for n≥2.
Besides suggesting instability of a naturally conjecturally generalized Riemannian Penrose Inequality, the constructed extensions give insights into an ad hoc generalized notion of Bartnik mass, similar to the Bartnik mass estimate for minimal surfaces proven by Mantoulidis and Schoen via their extensions, and unifying the Bartnik mass estimates in the various scenarios mentioned above.
