Institut für Mathematik Potsdam

Forschungsseminar

Das Forschungsseminar "Topics in Geometric Analysis" wird gemeinsam mit Ahmad Afuni (FU Berlin) organisiert.

Projekte

DFG ME3816/3-1: Geometrisch definierte asymptotische Koordinaten in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Dies ist ein Teilprojekt des SPP 2026: Geometry at infinity

Gemeinsam mit Prof. Dr. Carla Cederbaum (Uni Tübingen)

In diesem Projekt untersuchen wir geometrisch definierte Blätterungen von Anfangsdaten in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Diese erlauben es, asymptotische Koordinatensysteme zu konstruieren, die gut geeignet dafür sind, physikalische Invarianten wie die Masse und das Massezentrum zu untersuchen. Gegenstand sind hier Blätterungen aus Flächen konstanter mittlerer Krümmung, konstanter Expansion, oder konstanter mittlerer Krümmung in der Raumzeit.

Hauptziele des Projekts sind:

Vergleich der verschiedenen Blätterungen und der zugehörigen Koordinatensysteme. Von besonderem Interesse ist der Einfluss physikalischer Invarianten auf Gestalt und Position der Flächen.
Dabei liegt besonderes Augenmerk auf der Suche nach Koordinatensystemen, die nicht von der Wahl von Anfangsdaten, sondern nur von der erzeugten Raumzeit abhängen. So wäre etwa eine Formulierung der Regge-Teitelboim-Bedingungen von Interesse, die nicht von der Wahl eines Koordinatensystems abhängt.
Dabei sollen die Anforderungen an die asymptotische Geometrie von Anfansdaten wie Raumzeiten so allgemein wie möglich gehalten werden.

Ausgelaufene Projekte

DFG ME3816/1-2: Willmore surfaces in Riemannian manifolds

Gemeinsam mit Prof. Dr. Tobias Lamm (KIT, Karsruhe)

Dauer: September 2014 - Oktober 2019

Geometrische Variationsprobleme treten in natürlicher Weise in mehreren Teilgebieten der Mathematik, Physik, Biologie und Informatik auf. Die bekanntesten Beispiele sind das isoperimetrische Problem und die Minimalflächen. In diesem Projekt betrachten wir Variationsprobleme höherer Ordnung, wie zum Beispiel das Willmore-Funktional und Varianten davon. Diese spezielle Funktional tritt unter anderem in der Allgemeinen Relativitätstheorie, der Biologie und der Bildwiederherstellung auf.

In den letzten Jahren wurde das Willmore-Funktional und seine Varianten im euklidischen Raum intensiv untersucht. Unser Ziel ist die Entwicklung und Ausweitung der existierenden Theorie auf beliebige Zielmannigfaltigkeiten da dies in den oben erwähnten Anwendungen von Bedeutung ist.

Genauer wollen wir die Effekte der umgebenden Krümmung auf die geometrischen bzw. analytischen Eigenschaften der Funktionale untersuchen.

Unsere Hauptmotivation kommt von den Anwendungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie und wir versuchen die Verbindungen zwischen dem Willmore-Funktional und den relevanten physikalischen Grössen in dieser Theorie besser zu verstehen.

Um unsere Ziele zu erreichen, müssen wir die existierenden Regularitäts-, Kompaktheits- und Existenzresultate auf die zu betrachtenden Funktionale ausweiten und dies verlangt das genaue Studium der zugrunde liegenden kritischen partiellen Differentialgleichungen.

DFG ME3816/1-1: Geometry of Willmore surfaces in Riemannian manifolds and applications to General relativity

Dauer: Oktober 2011 - August 2013

Geometrische Variationsprobleme und die zugehörigen partiellen Differentialgleichungen sind natürliche Hilfsmittel, um die Geometrie Riemannscher Mannigfaltigkeiten zu untersuchen, und um physikalische Größen in der Allgemeinen Relativitätstheorie zu definieren. In diesem Projekt betrachten wir verschiedene
Verallgemeinerungen des Willmorefunktionals in Riemannschen Mannigfaltigkeiten, die durch die Hawkingmasse aus der Allgemeinen Relativitätstheorie motiviert sind. Wir untersuchen Flächen, die
diese Funktionale unter geeigneten Nebenbedingungen minimieren, oder die zugehörigen partiellen Differentialgleichungen erfüllen. Unser Hauptaugenmerk liegt auf dem Zusammenspiel der Geometrie dieser
Flächen und der Geometrie der umgebenden Mannigfaltigkeit. Diese Zusammenhänge besitzen oft physikalische Interpretationen, wenn man die umgebende Mannigfaltigkeit als Anfangsdaten für die Allgemeine Relativitätstheorie betrachtet. So können etwa Flächen, die den kleinsten Flächeninhalt unter allen Flächen haben, die dasselbe Volumen einschließen, dazu benutzt werden, das Massenzentrum eines isolierten gravitierenden Systems zu definieren.

Dieser Art sind die Effekte, die wir für das Willmorefunktional betrachten. Vorarbeiten des Antragstelles zeigen, dass ein enger Zusammenhang zwischen dem Willmorefunktional und der Skalarkrümmung des umgebenden Raumes besteht, wenn man kleine Flächen betrachtet. Im Großen können diese Flächen benutzt werden, um Masse und Massenzentrum eines isolierten gravitierenden Systems zu untersuchen. Außerdem betrachten wir Verallgemeinerungen des Willmorefunktionals, die vermutlich sensitiv gegenüber dem Gesamtimpuls eines solchen Systems sind.

Publikationen

Wichtigste Publikationen

M. Eichmair and J. Metzger
Jenkins-Serrin-Spruck type results for the Jang's equation
Preprint. May 2012. arXiv:1205.4301 [math.DG].
M. Eichmair and J. Metzger
Unique isoperimetric foliations of asymptotically flat manifolds in all dimensions
Inventiones mathematicae 194 (2013), 591--630.
arXiv:1204.6065 [math.DG].
M. Eichmair and J. Metzger
Large isoperimetric surfaces in asymptotically flat manifolds
J. Differential Geom. 94 (2013), 159--186.
arXiv:1102.2999 [math.DG].
M. Eichmair and J. Metzger
On large volume preserving stable constant mean curvature surfaces in initial data sets
J. Differential Geom. 91 (2012) 81-102.
arXiv:1102.3001 [math.DG].
T. Lamm, J. Metzger and F. Schulze
Foliations of asymptotically flat manifolds by surfaces of Willmore type
Mathematische Annalen 350 (2011) 1-78.
arXiv:0903.1277 [math.DG].