Verantwortliche: Christian Bär (Universität Potsdam) und Bernhard Hanke (Universität Augsburg)
Teilnahme: erfordert persönliche Einladung durch die Organisatoren.
Wann: Anreise ist am Sonntag, dem 28. April 2024, zum Abendessen um 18:00 Uhr. Im Anschluss findet der Einführungsvortrag statt. Die Abreise ist am Freitag, dem 3. Mai 2024, nach dem Mittagessen.
Wo: Bildungszentrum Kloster Banz
Was: Skalarkrümmungsvoraussetzungen sind im Vergleich zu Voraussetzungen an die Schnittkrümmung oder die Riccikrümmung eigentlich recht schwach. So kann man z.B. aus einer unteren Skalarkrümmungsschranke keine Schranke an den Durchmesser herleiten, im Gegensatz zur Riccikrümmung. Dennoch gibt es einige sehr starke Starrheitsphänomene für Skalarkrümmung.
Aus dem Satz von Gauß-Bonnet wissen wir, dass es auf dem 2-Torus keine positiv gekrümmte Metrik gibt. Wie ist das in höheren Dimensionen? Es stellt sich heraus, dass jede Metrik mit \(scal \geq 0\) auf \(T^n\) flach sein muss. Kann man auf der Standard-Sphäre die Skalarkrümmung vergrößern ohne die Metrik zu verkleinern (z.B. durch eine
Reskalierung)? Es stellt sich heraus, dass das nicht möglich ist. Diese und ähnliche Fragen, die teilweise Gegenstand der aktuellen Forschung sind, werden wir untersuchen. Dabei konzentrieren wir uns methodisch auf den Zugang mittels Spingeometrie und Dirac-Operatoren.
Wie: Das Seminar findet in deutscher Sprache statt. Die Vorträge sollten eine Dauer von 50 Minuten (plus Zeit für Diskussion) nicht überschreiten. Diese Zeitvorgabe bitte einhalten und bei der Planung der Vorträge berücksichtigen. Für den Notfall sollte man schon bei der Planung Passagen vorsehen, die wegfallen können, ohne dass der restliche Vortrag darunter allzu sehr leidet. Bei den Doppelvorträgen (5+6 und 13+14) sollten sich die Sprecher gut abstimmen. Aus Ermangelung einer Tafel werden die Vorträge mit zwei Dokumentenkameras und angeschlossenen Beamern gehalten. Wichtig ist dabei, dass die Blätter nicht vorbereitet mitgebracht werden, sondern - wie an einer Tafel - während des Vortrags live beschrieben werden.
Wer: Um sinnvoll teilnehmen zu können, muss man über Kenntnisse der riemannschen Geometrie verfügen. Einige Grundkonzepte der Spingeometrie sollte man auch kennen: Spinstrukturen, Spinorbündel und Dirac-Operator (mit Twistbündel), die Aussage der Lichnerowicz-Formel und des Atiyah-Singer-Indexsatzes. Siehe z.B. Abschnitte 2.1–2.4 und Kapitel 4 in [2] oder Kapitel 2 und 3 sowie Theorem 184 in [10].
Die Finanzierung erfolgt durch das Schwerpunktprogramm „Geometrie im Unendlichen“. Die Teilnahme ist nur für den gesamten Zeitraum des Seminars möglich.
Literatur:
[1] Andersson, L.; Dahl, M.: Scalar curvature rigidity for asymptotically locally hyperbolic manifolds. Ann. Global Anal. Geom. 16 (1998), 1–27.
[2] Bär, C.: Spin geometry, Lecture notes (2018).
[3] Bär, C.; Ballmann, W.: Guide to elliptic boundary value problems for Dirac-type operators. Arbeitstagung Bonn 2013., Progr. Math., vol. 319, Birkhäuser/Springer, Cham, 43–80, 2016.
[4] Bär, C.; Brendle, S.; Hanke, B.; Wang, Y.: Scalar curvature rigidity of warped product metrics. ArXiv preprint: https://doi.org/10.48550/arXiv.2306.04015 (2023).
[5] Bär, C.; Hanke, B.: Boundary conditions for scalar curvature. Perspectives in scalar curvature. Vol. 2., World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 325–377, 2023.
[6] Brendle, S.; Marques, F. C.; Neves, A.: Deformations of the hemisphere that increase scalar curvature. Invent. Math. 185 (2011), 175–197.
[7] Getzler, E.: The odd Chern character in cyclic homology and spectral flow. Topology 32 (1993), 489–507.
[8] Goette, S.; Semmelmann, U.: Scalar curvature estimates for compact symmetric spaces. Differential Geom. Appl. 16 (2002), 65–78.
[9] Hang, F.; Wang, X.: Rigidity theorems for compact manifolds with boundary and positive Ricci curvature. J. Geom. Anal. 19 (2009), 628–642.
[10] Hanke, B.: Spin geometry, Lecture notes (2021).
[11] Hirsch, S.; Zhang, Y.: Stability of Llarull’s theorem in all dimensions. ArXiv preprint: doi.org/10.48550/arXiv.2310.14412 (2023).
[12] Lawson, Jr. H. Blaine; Michelsohn, M.-L.: Spin geometry. Princeton Mathematical Series, vol. 38. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1989.
[13] Li, Y.; Su, G.; Wang, X.: Spectral flow, Llarull’s rigidity theorem in odd dimensions and its generalization. ArXiv preprint: https://doi.org/10.48550/arXiv.2306.06906 (2023).
[14] Listing, M.: Scalar curvature on compact symmetric spaces. ArXiv preprint: https://doi.org/10.48550/arXiv.1007.1832 (2010).
[15] Llarull, M.: Sharp estimates and the Dirac operator. Math. Ann. 310 (1998), 55–71.
[16] Phillips, J.: Self-adjoint Fredholm operators and spectral flow. Canad. Math. Bull. 39 (1996), 460–467.
[17] Shi, Y.; Tam, L.-F.: Positive mass theorem and the boundary behaviors of compact manifolds with nonnegative scalar curvature. J. Differential Geom. 62 (2002), 79–125.
