Dynamische Systeme / Dynamical Systems

Lineare autonome dynamische Systeme können mathematisch durch Operatorhalbgruppen beschrieben werden. Ihre Theorie und insbesondere ihr asymptotisches Verhalten für große Zeiten ist das Thema dieser Vorlesung. Viele Halbgruppen -- beispielsweise solche, die Markovprozesse oder Diffusion beschreiben -- sind positivitätserhaltend und durch Integralkerne gegeben, weshalb wir diese schwerpunktmäßig studieren werden.

Es lassen sich zwei Ansätze zur Untersuchung des Konvergenzverhaltens von Halbgruppen unterscheiden. Zum einen kann man ihre Stabilität durch spektrale Eigenschaften charakterisieren; im Fall von positiven Halbgruppen spricht man auch auch von der Perron-Frobenius-Theorie. Den zweiten Ansatz kann man als nicht-spektraltheoretisch beschreiben. Im Zentrum dieser Theorie stehen Halbgruppen auf $L^1$-Räumen, Markovprozesse und Integraloperatoren.

Die Vorlesung gibt eine Einführung in die Theorie von Banachverbänden und positiven Operatoren sowie deren Spektraleigenschaften, in Operatorhalbgruppen, Ergodentheorie und Markovprozesse; Grundlagen der Funktionalanalysis werden bereitgestellt.

Linear and autonomous dynamical systems can be described mathematically by operator semigroups. Their theory and particularly their asymptotic long-time behavior is the main subject of this course. Many semigroups, for instance those describing Markov processes or diffusion, are positivity preserving and given by integral kernels and we will pay special attention to them.

One may distinguish two approaches to study the asymptotic behavior of a semigroup. On the one hand, one can characterize stability by spectral properties; in case of a positive semigroup this is also called Perron-Frobenius theory. The second (non-spectral) approach focusses on semigroups on $L^1$-spaces, Markov processes and integral operators.

The course gives an introduction to the theory of Banach lattices, positive operators and their spectral properties; to operator semigroups, ergodic theory and Markov processes. Fundamentals of functional analysis are provided.